曇りなき眼で見定めブログ

学生です。勉強したことを書いていく所存です。リンクもコメントも自由です! お手柔らかに。。。アマゾンアソシエイトやってまっせ。更新のお知らせはTwitter@cut_eliminationで

論理学

包括原理、ラッセルのパラドクス、ラッセルの(分岐)型理論、(ラッセルの)構成主義、部分構造論理

論理学をそこそこ勉強すると遭遇するのがラッセルのパラドクスの議論である。このパラドクスは有名なので、あるいはここから論理学に入った人も多いかもしれない。確か私はそうだった気がする。もうあんまり覚えてないけど。 このパラドクスは現在の標準的な…

【エイプリルフール記念】嘘つきのパラドクスについてちょっと勉強しましたよ(発展途上)

※この記事はエイプリルフールのビッグウェーブに乗り遅れないように焦って書いたので、内容が凄くテキトーです。のちのちちゃんと勉強して推敲してアップデートします。 「私は嘘つきです」というやつです。論理学っぽく書くと「この文は偽である」。 (1)「…

Basic Proof Theory 読書記録 其の二 束縛変数の名前の付け替えのやつ

ロジックを勉強していたら誰もが(?)出くわす束縛変数の名前の付け替えのやつをまとめたいのよ。 以下のことを書いていて気づいたのだが、"Basic Proof Theory*1"(以下:BPT)には式 expressions や論理式 formulas の定義がない。subformulas の定義はある…

人文系の大学新入生へ -論理学のすすめ-

春ですね。大学新入生の皆さん、合格およびご入学おめでとうございます。いや〜大学って本当にいいもんですね。そんな私は大学院の新入生です。専攻は哲学。哲学といってもいろいろあって、そのなかでも論理学を専攻します。本記事は新入生の方むけに論理学…

岡本賢吾先生の二つの論文を読んだぞ

岡本賢吾先生は東京都立大学の哲学の教授で、専門は論理学・数学の哲学と情報の哲学とある(https://www.comp.tmu.ac.jp/philosophy/contents/staff/okamoto.html)。中央公論新社『哲学の歴史』の分析哲学編である第11巻で、ヒルベルトやブラウワーを中心と…

Basic Proof Theory 読書記録 其の一

Troelstra先生とSchwichtenberg先生*1の"Basic Proof Theory"もまあ必読書なのでしょうな。頑張ります。 単純型付ラムダ計算の代入補題についてメモ。 代入は以下のように項の複雑性によって帰納的に定義される。 , ( でないとき*2), , , ( でないとき。w…

"相互作用としての計算"調査記録その弍

Wikipediaを見ていたら"interactive computation"と"interactive computing"は違うというようなことが書かれていて、ちゃんとページも分かれていた。両方を見たけれども両者の違いはよくわからない。interactive computation のほうには「数学的モデル」と書…

”相互作用としての計算”調査記録その壱

発端は照井一成先生の「相互作用としての計算」という論文である。しかしこれは「現代思想」(青土社)という学術誌よりはカジュアルな雑誌に掲載されたもので、内容的にもそれほど堅苦しいものではなく、論文というよりは論考とかエッセイと呼んだほうがよい…

ロジックのメタ定理の語りづらさ

これまで完全性定理やカット除去定理についてごちゃごちゃ書いてきて気づいたことがある。他の分野の数学の定理ではあまりないのかもしれないが、ロジックのメタ定理というのは、独特の語りにくさ? みたいなのがある。完全性定理だとかカット除去定理だとか…

シリーズ「カット除去定理を考える」その1 カット除去定理 a.k.a. ゲンツェンの基本定理

完全性定理も中途半端なところで停滞しているのに、新シリーズとしてカット除去定理を考える。カット除去定理もロジックの教科書ではよく登場していて*1、その証明は完全性定理以上に教科書ごとに個性が出ている。そういうのを比較考察していきたいのだけれ…

シリーズ「完全性定理を考える」その4 「等号付き一階述語論理の強完全性定理」というやつ

このシリーズのなかでたびたび混乱した感じになってしまっていたことがあった。鹿島亮『数理論理学』で証明されている完全性定理は「等号付き一階述語論理の強完全性定理」というやつである。このことをハッキリ意識しておかなくてはならなかった。 鹿島本で…

シリーズ「完全性定理を考える」その3 述語論理の真理値の定義は意外と難しい(拡大閉論理式編)

完全性定理の証明のなかでモデルを作るわけだが、それをちゃんと理解するためには真理値の定義をちゃんと確認しなければならない。命題論理の場合はいわゆるブール値というのをおさえておけばいいので簡単な話と思うのだが、述語論理に関してはけっこう難し…

シリーズ「完全性定理を考える」その2 無限に広がる変数記号

一階述語論理の完全性定理の証明をちゃんと理解するためにいろんな教科書の見比べるシリーズの第2回です。鹿島亮先生の『数理論理学』は特に工夫をいろいろしているようなので、今回もそれです。数理論理学 (現代基礎数学)作者:鹿島 亮発売日: 2009/10/01メ…

シリーズ「完全性定理を考える」その1 存在証拠とヘンキン公理

一階述語論理の完全性定理は論理学の最重要定理の一つであり、多くの教科書に証明が載っている。で、当たり前だが教科書によって証明のしかたが異なるので、いろいろな教科書の証明を比較することで理解を深めようというのがこのシリーズである。そういう勉…